lcg_value() 如何結合分佈函數創建一個簡單的概率模型？實用示例講解

gitbox 2025-06-17

在概率論與統計學中，模擬隨機事件常常需要生成符合特定分佈的隨機數。 PHP 提供的lcg_value()函數可以生成[0,1) 區間內均勻分佈的偽隨機浮點數。本文將介紹如何利用lcg_value()結合分佈函數，創建一個簡單的概率模型，並通過實例演示其實用方法。

什麼是lcg_value()

lcg_value()是PHP 內置的一個偽隨機數生成函數，基於線性同餘法（Linear Congruential Generator），返回一個均勻分佈在[0, 1) 區間的浮點數。使用這個函數，你可以模擬均勻隨機事件，進而通過轉換實現更複雜的分佈。

 <?php
$randNum = lcg_value();
echo $randNum; // 輸出 0 到 1 之間的浮點數
?>

利用分佈函數創建概率模型

一個概率模型常常定義了隨機變量的分佈函數（Cumulative Distribution Function, CDF）。如果我們有目標分佈的CDF $F(x)$ ，那麼給定一個均勻隨機變量 $U \sim \mathrm{Uniform}(0,1)$ ，通過計算 $X = F^{-1}(U)$ （即反函數變換），就可以得到符合目標分佈的隨機變量。

簡單來說：

使用lcg_value()生成均勻隨機數 $U$
利用目標分佈的反CDF函數 $F^{-1}(U)$ 轉換為目標分佈的隨機數

實用示例：生成離散概率分佈的隨機數

假設我們有一個簡單的離散隨機變量 $X$ 取值為{A, B, C}，對應概率分別為{0.2, 0.5, 0.3}。如何用lcg_value()來模擬這個隨機變量？

思路是：

構造該離散分佈的累積分佈函數(CDF)
生成均勻隨機數 $u = \text{lcg_value}()$
根據 $u$ 落在哪個區間決定輸出哪個事件

<?php
function sampleDiscrete() {
    $u = lcg_value();

    if ($u < 0.2) {
        return 'A'; // 0 <= u < 0.2
    } elseif ($u < 0.7) { // 0.2 <= u < 0.7 (0.2 + 0.5)
        return 'B';
    } else { // 0.7 <= u < 1
        return 'C';
    }
}

// 運行測試
$results = ['A' => 0, 'B' => 0, 'C' => 0];
for ($i = 0; $i < 10000; $i++) {
    $sample = sampleDiscrete();
    $results[$sample]++;
}

print_r($results);
?>

運行後，統計結果會近似於概率{0.2, 0.5, 0.3}。

實用示例：生成指數分佈隨機數

對於連續型分佈，反CDF法同樣適用。比如指數分佈，參數為 $\lambda$ ，其CDF為：

F(x) = 1 - e^{-\lambda x}

其反CDF為：

F^{-1}(u) = -\frac{\ln(1-u)}{\lambda}

用lcg_value()生成指數分佈隨機數示例：

 <?php
function sampleExponential($lambda) {
    $u = lcg_value();
    return -log(1 - $u) / $lambda;
}

// 测试輸出
for ($i = 0; $i < 5; $i++) {
    echo sampleExponential(2) . "\n"; // lambda = 2
}
?>

總結

lcg_value()產生均勻分佈隨機數，是概率模擬的基礎。
結合目標分佈的累積分佈函數（CDF）或其反函數，可以轉換生成任意分佈的隨機變量。
離散分佈通過區間劃分，連續分佈通過反CDF變換來實現。

這個方法既簡單又實用，適合快速實現概率模型和模擬隨機事件。

更多詳細用法，可以參考PHP 官方文檔： https://gitbox.net/manual/en/function.lcg-value.php 。

lcg_value