lcg_value() 如何结合分布函数创建一个简单的概率模型？实用示例讲解

gitbox 2025-06-17

在概率论与统计学中，模拟随机事件常常需要生成符合特定分布的随机数。PHP 提供的 lcg_value() 函数可以生成 [0,1) 区间内均匀分布的伪随机浮点数。本文将介绍如何利用 lcg_value() 结合分布函数，创建一个简单的概率模型，并通过实例演示其实用方法。

什么是 lcg_value()

lcg_value() 是 PHP 内置的一个伪随机数生成函数，基于线性同余法（Linear Congruential Generator），返回一个均匀分布在 [0, 1) 区间的浮点数。使用这个函数，你可以模拟均匀随机事件，进而通过转换实现更复杂的分布。

<?php
$randNum = lcg_value();
echo $randNum; // 输出 0 到 1 之间的浮点数
?>

利用分布函数创建概率模型

一个概率模型常常定义了随机变量的分布函数（Cumulative Distribution Function, CDF）。如果我们有目标分布的 CDF $F(x)$ ，那么给定一个均匀随机变量 $U \sim \mathrm{Uniform}(0,1)$ ，通过计算 $X = F^{-1}(U)$ （即反函数变换），就可以得到符合目标分布的随机变量。

简单来说：

使用 lcg_value() 生成均匀随机数 $U$
利用目标分布的反CDF函数 $F^{-1}(U)$ 转换为目标分布的随机数

实用示例：生成离散概率分布的随机数

假设我们有一个简单的离散随机变量 $X$ 取值为 {A, B, C}，对应概率分别为 {0.2, 0.5, 0.3}。如何用 lcg_value() 来模拟这个随机变量？

思路是：

构造该离散分布的累积分布函数 (CDF)
生成均匀随机数 $u = \text{lcg_value}()$
根据 $u$ 落在哪个区间决定输出哪个事件

<?php
function sampleDiscrete() {
    $u = lcg_value();

    if ($u < 0.2) {
        return 'A'; // 0 <= u < 0.2
    } elseif ($u < 0.7) { // 0.2 <= u < 0.7 (0.2 + 0.5)
        return 'B';
    } else { // 0.7 <= u < 1
        return 'C';
    }
}

// 运行测试
$results = ['A' => 0, 'B' => 0, 'C' => 0];
for ($i = 0; $i < 10000; $i++) {
    $sample = sampleDiscrete();
    $results[$sample]++;
}

print_r($results);
?>

运行后，统计结果会近似于概率 {0.2, 0.5, 0.3}。

实用示例：生成指数分布随机数

对于连续型分布，反CDF法同样适用。比如指数分布，参数为 $\lambda$ ，其CDF为：

F(x) = 1 - e^{-\lambda x}

其反CDF为：

F^{-1}(u) = -\frac{\ln(1-u)}{\lambda}

用 lcg_value() 生成指数分布随机数示例：

<?php
function sampleExponential($lambda) {
    $u = lcg_value();
    return -log(1 - $u) / $lambda;
}

// 测试输出
for ($i = 0; $i < 5; $i++) {
    echo sampleExponential(2) . "\n"; // lambda = 2
}
?>

总结

lcg_value() 产生均匀分布随机数，是概率模拟的基础。
结合目标分布的累积分布函数（CDF）或其反函数，可以转换生成任意分布的随机变量。
离散分布通过区间划分，连续分布通过反CDF变换来实现。

这个方法既简单又实用，适合快速实现概率模型和模拟随机事件。

更多详细用法，可以参考 PHP 官方文档：https://gitbox.net/manual/en/function.lcg-value.php 。

lcg_value