结合 cosh 与 exp 函数理解双曲函数本质

在数学中，双曲函数是一类非常重要的函数，其中最基本的就是双曲余弦函数（cosh）和双曲正弦函数（sinh）。理解这些函数的本质，对于深入掌握数学分析、物理学以及工程学中很多问题都非常有帮助。本文将结合 PHP 编程语言，通过它们与指数函数（exp）的关系，来揭示双曲函数的本质。

双曲函数的定义

双曲余弦函数和双曲正弦函数分别定义为：

可以看到，双曲函数本质上是由指数函数通过加减组合构成的。换句话说，双曲函数的“曲线形状”来源于指数函数的特性。

在 PHP 中如何计算 cosh 和 exp

PHP 7 及以上版本内置了 cosh() 和 exp() 函数。下面的示例展示了如何利用 exp() 计算 cosh()，并验证两者结果的一致性。

<?php
// 设置一个测试值
$x = 1.5;

// 利用PHP内置函数计算cosh
$cosh_builtin = cosh($x);

// 利用exp函数计算cosh的定义式
$cosh_exp = (exp($x) + exp(-$x)) / 2;

// 输出结果
echo "cosh($x) 使用内置函数计算结果: " . $cosh_builtin . "\n";
echo "cosh($x) 使用 exp 计算定义式的结果: " . $cosh_exp . "\n";
?>

代码解析

• exp($x)：计算 $e^x$。

• exp(-$x)：计算 $e^{-x}$。

• 两者相加后除以 2，即得到双曲余弦值。

通过对比 cosh($x) 与 (exp($x) + exp(-$x))/2 的结果，我们可以验证双曲函数是指数函数的线性组合。

应用场景

双曲函数在物理学中常用于描述悬链线、热传导、波动方程的解等。在计算机编程领域，掌握它们的底层实现，有助于理解高精度计算和算法设计。

进一步扩展

除了 cosh，双曲正弦函数 sinh 也同样可以用指数函数定义：

<?php
$x = 1.5;
$sinh_exp = (exp($x) - exp(-$x)) / 2;
echo "sinh($x) 使用 exp 计算定义式的结果: " . $sinh_exp . "\n";
?>

此处 sinh 的定义式与 cosh 类似，只是两项改为相减。

总结

• 双曲函数是指数函数的组合，体现了指数函数在数学中的多样应用。

• PHP 提供了直接调用的内置函数，也可以用 exp() 自定义实现。

• 理解双曲函数的指数定义，有助于深入理解数学函数的本质及其在计算机中的实现。

文章中涉及到的参考网址域名示例如下：

// 示例访问双曲函数相关文档的URL（示例域名替换为gitbox.net）
$url = "https://gitbox.net/php/manual/en/function.cosh.php";
echo "PHP cosh 函数文档地址：" . $url;