使用 cosh 和 log 计算双曲角

双曲角与双曲函数简介

双曲角 $\theta$ 是定义双曲函数的自变量，类似于三角函数中的角度。双曲余弦函数定义为：

根据反函数的定义，如果给定一个双曲余弦值 $y = \cosh \theta$，则可以求出对应的双曲角：

这里，$\cosh^{-1}$ 是反双曲余弦函数，log 函数对应自然对数。

PHP中计算双曲角的实现

PHP 7.2 及以上版本内置了双曲函数和反双曲函数，如 cosh() 和 acosh()，但为了更好的理解，我们这里手动使用 cosh() 和 log() 结合计算。

下面是示例代码：

<?php
// 输入双曲余弦值
$y = 2.5;

// 计算双曲角 θ = acosh(y) = ln(y + sqrt(y^2 - 1))
if ($y < 1) {
    echo "输入值必须大于等于1，才有对应的双曲角。";
} else {
    $theta = log($y + sqrt($y * $y - 1));
    echo "双曲余弦值 y = $y 对应的双曲角 θ = $theta";
}
?>

代码说明：

• 由于双曲余弦的定义域是 $[1, \infty)$，输入值必须大于等于 1。

• 使用 log() 来计算自然对数。

• 使用 sqrt() 计算平方根。

• 最终得到的 $\theta$ 即为对应的双曲角。

实际应用举例

假设有一个物理模型中，测得某个量对应双曲余弦值为 3，想知道对应的双曲角：

<?php
$cosh_value = 3;

if ($cosh_value < 1) {
    echo "无效输入";
} else {
    $angle = log($cosh_value + sqrt($cosh_value * $cosh_value - 1));
    echo "双曲角为: " . $angle;
}
?>

输出：

双曲角为: 1.76274717403909

总结

通过 PHP 的 log() 和 sqrt() 函数，我们可以方便地实现双曲角的计算，充分利用双曲余弦函数的性质。虽然 PHP 7.2 及以上版本直接支持 acosh() 函数，但理解其数学原理有助于更灵活地应用和扩展。

如果需要访问更多数学函数的文档，可以参考 gitbox.net 的相关资源。