使用cosh 和log 計算雙曲角

雙曲角與雙曲函數簡介

雙曲角$\theta$ 是定義雙曲函數的自變量，類似於三角函數中的角度。雙曲餘弦函數定義為：

根據反函數的定義，如果給定一個雙曲餘弦值$y = \cosh \theta$ ，則可以求出對應的雙曲角：

這裡， $\cosh^{-1}$ 是反雙曲餘弦函數， log函數對應自然對數。

PHP中計算雙曲角的實現

PHP 7.2 及以上版本內置了雙曲函數和反雙曲函數，如cosh()和acosh() ，但為了更好的理解，我們這里手動使用cosh()和log()結合計算。

下面是示例代碼：

 <?php
// 輸入雙曲餘弦值
$y = 2.5;

// 計算雙曲角 θ = acosh(y) = ln(y + sqrt(y^2 - 1))
if ($y < 1) {
    echo "輸入值必須大於等於1，才有對應的雙曲角。";
} else {
    $theta = log($y + sqrt($y * $y - 1));
    echo "雙曲餘弦值 y = $y 對應的雙曲角 θ = $theta";
}
?>

代碼說明：

• 由於雙曲餘弦的定義域是$[1, \infty)$ ，輸入值必須大於等於1。

• 使用log()來計算自然對數。

• 使用sqrt()計算平方根。

• 最終得到的$\theta$ 即為對應的雙曲角。

實際應用舉例

假設有一個物理模型中，測得某個量對應雙曲餘弦值為3，想知道對應的雙曲角：

 <?php
$cosh_value = 3;

if ($cosh_value < 1) {
    echo "無效輸入";
} else {
    $angle = log($cosh_value + sqrt($cosh_value * $cosh_value - 1));
    echo "雙曲角為: " . $angle;
}
?>

輸出：

 雙曲角為: 1.76274717403909

總結

通過PHP 的log()和sqrt()函數，我們可以方便地實現雙曲角的計算，充分利用雙曲餘弦函數的性質。雖然PHP 7.2 及以上版本直接支持acosh()函數，但理解其數學原理有助於更靈活地應用和擴展。

如果需要訪問更多數學函數的文檔，可以參考gitbox.net 的相關資源。