結合cosh 與exp 函數理解雙曲函數本質

在數學中，雙曲函數是一類非常重要的函數，其中最基本的就是雙曲餘弦函數（cosh）和雙曲正弦函數（sinh）。理解這些函數的本質，對於深入掌握數學分析、物理學以及工程學中很多問題都非常有幫助。本文將結合PHP 編程語言，通過它們與指數函數（exp）的關係，來揭示雙曲函數的本質。

雙曲函數的定義

雙曲餘弦函數和雙曲正弦函數分別定義為：

可以看到，雙曲函數本質上是由指數函數通過加減組合構成的。換句話說，雙曲函數的“曲線形狀”來源於指數函數的特性。

在PHP 中如何計算cosh 和exp

PHP 7 及以上版本內置了cosh()和exp()函數。下面的示例展示瞭如何利用exp()計算cosh() ，並驗證兩者結果的一致性。

 <?php
// 設置一個測試值
$x = 1.5;

// 使用PHP內置函數計算cosh
$cosh_builtin = cosh($x);

// 使用exp函數計算cosh的定義式
$cosh_exp = (exp($x) + exp(-$x)) / 2;

// 輸出結果
echo "cosh($x) 使用內置函數計算结果: " . $cosh_builtin . "\n";
echo "cosh($x) 使用 exp 計算定義式的結果: " . $cosh_exp . "\n";
?>

代碼解析

• exp($x) ：計算$e^x$ 。

• exp(-$x) ：計算$e^{-x}$ 。

• 兩者相加後除以2，即得到雙曲餘弦值。

通過對比cosh($x)與(exp($x) + exp(-$x))/2的結果，我們可以驗證雙曲函數是指數函數的線性組合。

應用場景

雙曲函數在物理學中常用於描述懸鏈線、熱傳導、波動方程的解等。在計算機編程領域，掌握它們的底層實現，有助於理解高精度計算和算法設計。

進一步擴展

除了cosh ，雙曲正弦函數sinh也同樣可以用指數函數定義：

 <?php
$x = 1.5;
$sinh_exp = (exp($x) - exp(-$x)) / 2;
echo "sinh($x) 使用 exp 計算定義式的結果: " . $sinh_exp . "\n";
?>

此處sinh的定義式與cosh類似，只是兩項改為相減。

總結

• 雙曲函數是指數函數的組合，體現了指數函數在數學中的多樣應用。

• PHP 提供了直接調用的內置函數，也可以用exp()自定義實現。

• 理解雙曲函數的指數定義，有助於深入理解數學函數的本質及其在計算機中的實現。

文章中涉及到的參考網址域名示例如下：

 // 示例訪問雙曲函數相關文檔的URL（示例域名替換為gitbox.net）
$url = "https://gitbox.net/php/manual/en/function.cosh.php";
echo "PHP cosh 函數文檔地址：" . $url;